El experto en matemática Benoit Mandelbrot, también llamado «El padre de los fractales», fue el desarrollador de lo que hoy conocemos como la geometría fractal en 1975, dándole el nombre que actualmente tiene: Fractal, que proviene del vocablo latino Fractus, el cual pudiese traducirse como «quebrado». Un fractal es una figura que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos, cuya principal característica es que la manera en la que se distribuye estadísticamente no varía aunque se modifique la escala empleada en la observación, es decir: que tiene autosimilitud, o autosemejanza.

¿Qué es la autosimilitud o autosemejanza?

Imaginemos que podemos observar un fractal a través de un microscopio, viendo así su escala aumentada 1000 veces. Lo que veríamos a través de la lente conservaría la misma apariencia que la figura en sí, la misma relación de aspecto, y es ahí donde radica la magia visual de los fractales.

No ocurriría así si hiciésemos dicho ejercicio en una circunferencia, por ejemplo. Observar una única porción de una circunferencia no nos estaría diciendo gran cosa acerca de su aspecto original antes dicha ampliación. Igualmente ocurriría en el caso de observar la ampliación de un cuadrado. Al quedarnos únicamente con una parte, lo que observaríamos bien podría ser una línea recta o un ángulo formado por 2 líneas rectas.

En síntesis: Los fractales, son figuras que tendrán el mismo aspecto por muy lejos o cerca que las observes.

Esto ocurre porque las partes tienen la misma estructura que el conjunto total.

Tipos de fractales

Los fractales pueden presentar 3 clases distintas de autosimilutud:

  1. Autosimilitud exacta: Veremos exactamente lo mismo, por mucho que ampliemos la imagen.
  2. Cuasi similitud: En la que se conserva semejanza pero con cierta pérdida de información.
  3. Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de autosimilitud que exige que el fractal tenga medidas estadísticas o numéricas que se conserven con los cambios de escala.

Un ejemplo de Autosimilitud estadística podría ser La Vía Láctea, ya que si la observamos a través de un telescopio, lo que vemos es una agrupación de puntos con la misma forma de lo que veríamos a medida que nos acercarnos a ella, por una mera cuestión estadística de distribución.

Mónstruos Matemáticos

Existen una serie de conjuntos fractales muy famosos, los cuales fueron muy criticados ya que desafiaban la matemática existente en la época, ganándose así el nada cariñoso apelativo de «monstruos matemáticos».

Tipos de Monstruos Matemáticos

Conjunto de Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor utilizaría dicho conjunto, en 1883, como una herramienta de investigación para el estudio de la continuidad.

Conjunto de Cantor.png

Imaginemos que tenemos un segmento y lo dividimos en 3 partes iguales, la parte de en medio la quitas. Lo 2 segmentos que te quedan, los vuelves a dividir en 3 partes cada uno, volvemos a quitar la parte de en medio y así sucesivamente… nos encontramos con un conjunto en el que si mirásemos la partición 1000, por ejemplo, y a partir de ahí la vuelves a mirar, sigues viendo la misma estructura del principio. Por lo que el patrón es siempre el mismo.

La Curva de Koch

El sueco Niels Fabian Helge von Koch crea en 1904 este monstruo matemático

Tenemos un triángulo equilátero, con sus 3 segmentos. Cada uno de estos segmentos lo dividimos en 3 partes iguales (tal y como hacíamos más arriba con el Conjunto de Cantor), pero en el segmento central de cada lado volvemos a construir un triángulo equilátero. En la primera partición que hacemos ya podríamos estar viendo una estrella de David. A continuación, de cada segmento que te queda de esta figura, vuelves a dividirlo en 3 y vuelves a construir un triángulo equilátero. Y así hasta el infinito.

Como vemos, el resultado se parece a un copo de nieve. Eso se llaman cristales dendrítico. Lo cual evidencia hasta qué punto la naturaleza llega a ser fractal.

Estas figuras son paradoja matemáticas, ya que tienen área finita pero el perímetro es infinito. De ahí que no gozaran de demasiada reputación en su época.

Triángulo de Sierpinski

Sierpinski segmentos.png

Wacław Franciszek Sierpińsk, matemático polaco fue quien desarrolló este conjunto.

Imaginémonos que, igual que hicimos anteriormente, dividimos las partes del segmento de un triángulo equilátero; lo que hacemos a continuación es coger el punto medio de cada segmento y lo volvemos a unir. Digamos que dentro de ese triángulo equilátero, existe otro triángulo que estaría al reves (boca abajo), e inscrito dentro del propio triángulo.

Si miramos el dibujo global, veremos cuatro triángulos: El que hemos hecho en medio y los 3 que nos han quedado. Ahora el de enmedio lo quitamos, y en los 3 que nos quedan volvemos a hacer la misma operación, y vamos quitando los de en medio de cada uno de ellos.

Lo que obtenemos es un patrón.

Sierpińsk diseñó este monstruo para demostrar que era posible construir una curva que se cruzara consigo misma en todos sus puntos.

La Alfombra de Sierpinski

Alfombra de Sierpinski roja.png

Tenemos un cuadrado, que tiene todos sus lados iguales con ángulos de 90º, y formamos con él un sudoku, es decir: dividimos el cuadrado en 9 partes iguales obteniendo así 9 cuadrados. Ahora quitamos el cuadrado central y nos quedan 8. Esos 8 los volvemos a dividir, quitando cada vez el de enmedio. Y lo que acaba quedándonos es un fractal.

Que hoy en día llevemos micro ordenadores en nuestro bolsillo se lo debemos en parte a Sierpinski. Este tipo de fractalización ideada por él, es empleada hoy en día en antenas, emisores y receptores, ya que gracias a su auto-similitud y la invarianza de escala, se adaptan a múltiples frecuencias. Esto dispara por completo el perímetro de alcance. Además, gracias a esta estructura se puede reducir enormemente el tamaño y precio de la antena, por lo que es ideal para su implementación en teléfonos móviles y celulares.

 

La curva de Hilbert

La curva de Hilbert es una curva fractal continua que recubre el plano descrita inicialmente por el matemático alemán David Hilbert en 1891, ​ como una variante de las curvas que recubren el plano descubiertas por Giuseppe Peano en 1890.

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